Consiliul
Județean Cluj

România
100

Director fondator: Mircea Arman, 2015

Director fondator revista pe suport material: Ioan Slavici, 1884

weekly magazine in english,
romanian and italian

Geometria mirabilis

Geometria mirabilis

Atunci când se ridică problema proiectării și edificării unor lăcașe de cult, în limbajul arhitecților apare frecvent sintagma geometria sacra, cu trimitere directă la introducerea în operă a Proporției divine şi nu numai. Totodată, alături de perrenis, adjectivul din titlu pare să fi intrat definitiv în conștiința publică, îndeosebi ca efect al combinării sale cu philosophia, asocierea astfel obținută devenind chiar şi titlul unei cărți de excepție. (Dumitriu, A., – 1974). În cele ce urmează însă, ne vom strădui să arătăm că este cel puțin la fel de justificată utilizarea inedită a determinantului mirabilis pentru a se desemna o însușire esențială a geometriei, aceea de a produce mirarea fundamentală din care se naşte fiorul ordinii universale şi apoi, întreaga filozofie. Indirect și fără a insista asupra acestui aspect, Platon a semnalat, cumva, poziționarea geometriei în amonte față de filozofia propriu-zisă, căci altfel, nu se explică faptul că a imortalizat pe frontispiciul Academiei din Atena celebrul dicton Nimeni nu intră aici dacă nu este geometru! Misterioasa condiție de admitere sugerată prin acest dicton atrage atenția asupra calificării pe care aspirantul trebuia s-o dovedească la acceptarea sa în Academie. În acea vreme, calitatea de geometru proba nu doar capacitățile intelectuale necesare pentru viitoarea călătorie întru cunoaștere, ci şi o minimă garanție privind mirarea autentică pe care aspirantul o va fi trăit în momentul revelării raționamentelor pitagoreico-euclidiene. Mirarea era rodul perplexității subiectului când, grație unor demonstrații logice, va fi realizat că universul este ordonat după rigori geometrice. În semn de prețuire pentru această mirare veche de când lumea dar, altminteri, la fel de proaspătă și de surprinzătoare în esența sa, Albert Einstein (1879-1955) spunea: Cel mai înalt lucru pe care-l putem simți este misterul. El este emoția fundamentală care stă lângă leagănul adevăratei arte și științe. Cel care nu cunoaște și nu se mai poate mira, nu mai poate fi uimit, este ca și mort, e o lumânare stinsă. (Livio, M. – 2012, p. 12) În mod similar, printr-o spectaculoasă revizitarea a temelor pitagoreice, Matila C. Ghyka (1881-1965) readuce în atenția noastră mirificul test matematic al transcendenței vieții şi, deopotrivă, emoția ordinii sacre. Astfel, el spune la un moment dat că: …viața […] acționează sau poate acționa ca o forță ce provine dintr-o direcție din afara sistemului, dintr-o altă dimensiune […] încă imperfect cunoscută şi care ar putea fi a cincea dimensiune a geometriilor… (Ghyka, M.C. – 1998, p. 276)
Dintr-o altă perspectivă, istoria legendară consemnată în vechi manuscrise inițiatice promovează, în mod tradițional, o formulare misterioasă și insolită ce vizează identitatea geometriei cu masoneria. (Dalea, I. G. – 2014) Meritul de a fi resuscitat enunțul respectiv, în chiar perioada când se renunțaseră aproape definitiv la utilizarea sa ca mijloc de transmitere a mesajului inițiatic, îi revine lui Albert G. Mackey (1807-1881). Pentru ilustrare, vom reda câteva citate semnificative din acest important autor de carte masonică: (i) Iar a cincea (artă liberală, n.n.) se numește geometrie; și aceasta învață omul volumul și măsura pământului și a tuturor celorlalte lucruri; această știință se numește masonerie; (ii) Manuscrisul (Dowland, n.n.) continuă printr-o declarație din care reiese că geometria și masoneria sunt identice; (iii) Am găsit această idee a geometriei concepută ca știință fundamentală a masoneriei enunțată în Legenda Ordinului. (Mackey. G. A. – 2017, p. 20, p. 35 și p. 37). Mackey proclama astfel un adevăr fundamental care, de multe ori, s-a dovedit a fi prea subtil și prea profund încifrat pentru a nu fi omis, neglijat sau, în cel mai fericit caz, tratat cu superficialitate. În esență, acest adevăr face trimitere la faptul că geometria reprezintă instrumentul consacrat prin care se poate realiza, cu eficacitate și cu efect garantat, transmiterea influenței spirituale. În această calitate, geometria este însuși firul de aur ce străbate întreaga istorie inițiațică aflată mereu în tranziție de la o formă organizatorică la alta. Fraternitatea pitagoreică, collegium fabrorum, gruparea maeştrilor comancini, compagnonage-ul francez, steinmetzen-ul german, ghildele de masoni operativi din Anglia şi Scoția, dar şi Ordinul masonic actual nu sunt altceva decât fațete ale aceluiaşi fenomen dominat de simbolistica geometrică, întovărăşirea întru lucrare şi perfecționarea spirituală (Vibert, L. – 2014).
Vom constata cu surprindere că, în toate timpurile, geometria a fost cea care a asigurat continuitatea tradiției inițiatice și, deopotrivă, instrumentele calificate prin care i s-au transmis neofitului mesajele subliminale privind armonia universală. O dovadă subtilă în acest sens o constituie faptul că uimirea pe care o va fi produs relevarea constantelor geometrice în antichitate sau pe timpul Renaşterii, de pildă, este identic-egală cu cea pe care o trăieşte aspirantul din secolul al XXI-lea; în sine, această uimire are un puternic efect de trezire la realitate și de orientare fermă a neofitului cu fața către Principiu – Marele arhitect al Universului. În plus, frecventele referiri la Pitagora și la Euclid pe care le regăsim în manuscrisele masoneriei operative nu fac decât să sublinieze încă o dată importanța conferită identității geometriei cu masoneria. În centrul acestei viziuni, prezentată aici în varianta sa simplificată, se întrezărește doctrina metafizică având la bază principiile universal valabile ce fac trimitere subtilă la voința și planul lui Dumnezeu – Entitatea supremă.
Vom constata, de asemenea, că metoda de sorginte geometrică este adânc încriptată în templul masonic – locul epifaniei și al consacrării inițiatice, deopotrivă. Atât planul templului, ca atare, cât şi Pavajul mozaicat din centrul spațiului sacru sunt, de fapt, niște pătrate lungi anume constituite pentru a sugera Secțiunea de aur. În templu i se arată aspirantului, Secțiunea încifrată în patratul lung şi în pentagramă, i se prezintă tetractys-ul şi alte asemenea instrumente ritualice destinate să-i declanșeze mirarea metafizică și astfel, trezirea sa inițiatică. Pentru pitagoreici, tetractys-ul însemna desăvârşirea divină; în semn de prețuire ei depuneau un jurământ de credință pe acest obiect ritualic, pe care şi masonii de la gradele înalte îl venerează, aidoma. (Livio, M, – 2017, pp. 29-30) Din simbolistică mustind de sensuri și din planşele de arhitectură, aspirantul va afla despre inconfundabila semnătură pe care Dumnezeu a caligrafiat-o asupra Creației. Prin gesturi și replici îndelung șlefuite în athanorul istoriei i se transmite, totodată, un mesaj discret, menit să evidențieze dimensiunea sacră a realității şi necesitatea desăvârşirii spirituale. Metoda inițiatică pe care tocmai am prezentat-o succint, presupune un imbold logic şi coerent care generează în mintea neofitului raționamentul revelator. Astfel, i se transmit aspirantului, în manieră persuasivă, mesaje voalate despre ordinea atotcuprinzătoare și voința revelată, împreună cu o subtilă aluzie la planul celest. Aşadar, prin inițiere, neofitul este pus în situația să trăiască o epifanie prin care, în formulă tradițională, i se comunică un adevăr profund sacramental. Toate acestea la un loc declanșează acel benefic sentiment de mirare roditoare care-l introduce subit pe cel “contaminat” în procesul de căutare a Cuvântului pierdut, deschizându-i totodată un orizont de dezvoltare către o stare de pace şi armonie.
Întrucât vorbim aici despre geometrie, Secțiunea de aur şi ordinea implicită, socotim că este nimerit să deschidem o mică paranteză pentru a detalia câteva aspecte în legătură cu pentagrama – cea mai pură și mai perfectă dintre figurile euclidiene – pe care, iată, o regăsim prezentă în Tradiție de peste două milenii şi jumătate. Sigur, nu este o întâmplare că tocmai această figură geometrică a fost aleasă ca simbol reprezentativ al frăției; într-o pentagramă regulată, raportul dintre latura fiecărui triunghi isoscel şi baza sa este egal cu Secțiunea de aur. (Livio, M. – 2017, pp. 258-259). Pentagrama este …strâns legată și de pentagonul regulat […]. Dacă uniți toate vârfurile unui pentagon prin diagonale, obțineți o pentagramă. Diagonalele formează și ele un pentagon mai mic în centru […]. Acest proces poate fi continuat la infinit […]. Proprietatea frapantă a tuturor acestor figuri este că, […] fiecare segment se obține din cel precedent prin împărțirea cu un factor exact egal cu Secțiunea de aur, φ. (Livio, M. – 2012, p. 47) Întrucât această construcția se poate continua la infinit, se induce concluzia firească potrivit căreia diagonala și latura pentragonului regulat sunt, de fapt, incomensurabile. Pitagoreicii sunt cei care au descoperit atât Secțiunea de aur, cât și incomensurabilitatea la care facem referire.
Credința privind omniprezența ordinii universale este proclamată de Pitagora, teoretizată de Euclid și, apoi, preluată pe cale inițiatică de Platon, cel mai important continuator al maestrului din Samos. Acest credo va domina nu doar cosmogonia şi estetica din antichitatea elenă, ci şi arhitectura romană şi pe cea europeană de mai târziu. Şi pentru că Secțiunea de aur era considerată din afara lumii terestre, informațiile pe această temă erau transmise în secret şi sub prestare de jurământ. (Mallinger, J. – 2009 și Livio – 2012, p. 264) Expresia valorică a Secțiunii este φ = 1,618…, limita şirului descoperit de Leonardo Fibonacci (1170-1240). Cea mai fascinantă proprietate a numerelor din şirul respectiv constă în aceea că pe măsură ce termenii lui devin din ce în ce mai mari, raportul numerelor consecutive tinde către φ. Iată un citat care subliniază magistral această tendință: Întregul mister al fracțiilor continue [rapoartele dintre două numere consecutive ale şirului Fibonacci, n.n.] şi al relațiilor de recurență liniară e conținut în ele, iar ele sunt o sursă de infinită curiozitate. Cât de interesant este să le vezi străduindu-se să atingă ceea ce e de neatins, de pildă Secțiunea de aur… (Livio – 2012, p. 122) Începând cu atomul şi molecula, trecând prin fulgul de nea, cochilia melcului, floarea soarelui şi corpul uman, înmulțirea iepurilor, picajul șoimului către pradă şi terminând cu galaxiile şi constelațiile din univers etc., vom găsi peste tot Numărul de aur. Acest raport, această invariabilă algebrică, se poate naşte, în chip abstract şi direct, dintr-o operație logică foarte simplă, cea mai simplă pe care am putea s-o efectuăm, forțând conceptul platonic despre proporție; l-am mai întâlnit, apoi, şi în biologie, schemă numerică, simbol redus al formei vii (şi, totodată, ca opus schemelor de echilibru cristalin al formelor moarte), al pulsării creşterii; acest «număr de aur» rezumă aritmetic şi algebric proprietățile celei mai înalte dominante geometrice (pentagrama). (Ghyka, M.C. – 1981, p 21) De la aceste constatări nu a mai fost decât un simplu pas până la întrebarea crucială este Dumnezeu geometru (matematician)?
Euclid este considerat părintele geometriei, dar și primul teoretician a ceea ce numim astăzi Secțiunea de aur. În cartea sa intitulată Elementele, el face mai multe trimiteri la această modalitate particulară de a împărți un segment de dreaptă, AB, cu ajutorul unui punct, C, definind astfel noțiunea respectivă ca medie și extremă rație sau proporție având o medie şi două extreme. În urma acestei secționări speciale se obține relația AC/CB = AB/AC; în expresie aritmetică, proporția are valoarea φ, un număr irațional, infinit ca manifestare, care a devenit simbol matematic al creşterii vii şi a exercitat o fascinație specială asupra matematicienilor şi filozofilor din toate timpurile, dar şi asupra mediului inițiatic. (Ghyka, M. C. – 1998, p. 27) Matematicienii au identificat apoi, un adevărat potop de surprize în legătură cu Proporția divină şi Numărul de aur. (Livio, M. – 2012, p. 156)
În calitate de principal criptopitagoreic, Platon adaugă acestei filozofii despre ordinea universală, concepția sa referitoare la Solidele platonice şi la Ideea-formă. Platon afirmă că numărul şi frumusețea sunt arhetipuri călăuzitoare ale universului. Cel de-al treilea arhetip prețuit de Platon, proporția sau, în sensul său cel mai general, analogia, decurge tot din armonia universală. (Ghyka, M.A. – 1981) Platon susține că …elementele [Foc, Apă, Aer, Pământ, n.n.] erau fără proporție şi măsură… […] …în starea în care e de aşteptat să se afle orice lucru din care zeul lipseşte […] …cel dintâi lucru pe care el, Demiurgul, l-a făcut a fost să le distingă cu ajutorul formelor şi al numerelor. Zeul le-a îmbinat cât mai frumos şi cât mai bine cu putință, aşa cum nu erau înainte; fie-ne acesta, mai presus de toate, Principiul pe care să ne întemeiem gândul. (Platon – 1983, pp. 168-169) Mai târziu, un arhitect roman celebru, pe numele său Vitruviu, sugerează proporționalitatea corpului uman. Într-un pasaj socotit, în perioada Renaşterii, ca o dovada certă a corelației dintre dimensiunile organismului uman şi încadrările geometrice, Vitruviu preciza: …dacă măsurăm distanța de la tălpile picioarelor până la creştetul capului şi aplicăm acestă măsură brațelor întinse, lățimea va fi aceeaşi cu înălțimea, ca în cazul suprafețelor plane care sunt perfect patrate. În baza acestor considerente, Leonardo da Vinci a elaborat binecunoscutul său concept care-l reprezintă pe omul vitruvian încadrat într-un patrat circumscris. (Livio, M. – 2012, p. 156)
Sărind peste multe episoade, vom nota, în continuare, extazul lui Luca Pacioli (1445-1517) cu privire la Secțiunea de aur pe care el a denumit-o Proporția divină. Iată, pe scurt, cele cinci motive care justifică denumirea atribuită: (i) Proporția divină este unică, tot astfel cum unicitatea este supremul epitetul divin; (ii) segmentul (AB) şi cele două subsegmente (AC şi BC) ale Secțiunii sunt similare celor trei persoane ale Sfintei Treimi; (iii) incognoscibilitatea lui Dumnezeu şi faptul că Secțiunea este reprezentată printr-un număr irațional sunt echivalente; (iv) omniprezența şi caracterul neschimbător al divinității se reflectă în autosimilaritatea Secțiunii; (v) aşa cum Dumnezeu a creat universul prin Quintessentia, Secțiunea naşte dodecaedrul, fără de care acest solid platonic nu ar putea exista. (Livio, M. – 2012, p. 154) Ce a urmat după Renaştere, în această materie, poate fi asemuit unui veritabil uragan. În deplină cunoştință de cauză și perfect avizat în această problematică subtilă, Johannes Kepler (1571-1630) menționa: Geometria are două mari comori; una este teorema lui Pitagora, cealaltă împărțirea unui segment în medie și extremă rație. Cea dintâi poate fi asemuită cu o măsură de aur, a doua poate fi numită un giuvaer prețios. Secțiunea este, aşadar, giuvaerul prețios cu rol integrator şi unificator pentru domenii care, aparent, nu pot fi relaționate, precum matematica, arta, ştiințele naturale, astronomia etc. (Livio, M. – 2012, p. 76 şi p. 171) Contribuția kepleriană și, cu deosebire, opera sa Harmonice mundi, fac ca ideea unui cosmos prescriptibil prin ecuații matematice să prindă contur; Kepler dezvoltă pentru prima dată, un model matematic al universului. (Livio, M. – 2017, p. 37) Urmează în această serie: (i) Thomas Hobbes (1588-1679) care considera că temelia societății și a guvernării este geometria din care decurg, rând pe rând, argumentarea rațională, proporționalitatea şi echilibrul (Livio, M. – 2017, p. 12); (ii) René Descartes (1596-1650) – fondatorul geometriei analitice și autor al celebrului Discurs asupra metodei; (iii) Baruch Spinoza (1632-1677) – marele filozof evreu care îşi denumeşte cutezătoarea sa încercare de a unifica metafizica, religia şi ştiința, nici mai mult nici mai puțin decât, Etica demonstrată după metoda geometrică. (Livio, M. – 2017, p. 169) Desigur, lista celor care au contribuit la clarificarea acestui fenomen, pe cât de extins și profund, pe atât de subtil, este mult mai lungă; noi însă, ne vom opri cu exemplificările, menționând că preocuparea savanților şi filozofilor în această materie continuă şi în prezent. În plin secol XX, această tendință este confirmată de către Bertrand Russell (1872-1970) care constata cu uimire o revenire a științei la viziunea pitagoreico-platonică. Mai cu seamă, savanții din fizica cuantică vorbesc despre o surprinzătoare coerență a universului, o morfologie voit proiectată, o mişcare continuu-ordonată și previzibilă a corpurilor cereşti şi o interconectare evidentă. Raporturile cosmice relevă o coeziune viguroasă iar dincolo de aceasta se întrezăreşte o voință supremă și absolută. În mod clar, parametrii fizici ai universului sunt extrem de fin conjugați, ca şi cum, în mod voluntar, o forță ar menține Totul într-o stare perfectă de echilibru şi armonie. (Laszlo, E. – 2008, pp. 134-156)
Timp de peste două milenii, geometria euclidiană a guvernat lumea ca unică şi autoritară formulă de reprezentare a spațiului. În secolul al XIX-lea apar însă, ereziile neeuclidiene – trei teorii matematice bazate pe reformularea unor axiome ce păreau de neclintit. Astfel, Nikolai Ivanovici Lobanovski (1792-1856), János Bolyai (1802-1860) și Bernhard Riemann (1826-1866) vor introduce noi ipoteze privind prescrierea cadrului spațial, desființând prin aceasta, mitul potrivit căruia geometria euclidiană ar fi singura abordare validă în materie. (Livio, M. – 2017, pp. 173-181) Pe de altă parte, începând cu Newton și Leibnitz, savanții lumii au realizat din ce în ce mai pregnant că nu doar geometria dispune de miraculoasa capacitate de formalizare a legilor naturii; la fel de eficace, în acest sens, se dovedește a fi întreaga știință matematică. Eugen Wiegner (1902-1995), laureat al Premiului Nobel, a caracterizat genial această miraculoasă capacitate a matematicii de a fundamenta legile universului: Ar trebui să fim recunoscători [lui Dumnezeu, n.n.] pentru acest dar, să sperăm că el va rămâne valabil în cercetările viitoare și că se va extinde, cu avantajele și dezavantajele sale, spre bucuria, dar și spre nedumerirea noastră, către ramuri vaste ale cunoașterii. (Livio, M. – 2017, p. 13) În fine, după tot acest periplu pe care l-am parcurs plecând de la pretextul furnizat de titlul nostru, se naște o tulburătoare întrebare: este matematica o descoperire sau o invenție umană? Răspunsurile înregistrate până în prezent sunt contradictorii iar dezacordurile evidente. Dacă acceptăm că este o descoperire, acceptăm implicit existența şi intenționalitatea Entități supreme; dacă acceptăm că geometria este o invenție, reprezentarea de tip pitagoreico-platonic rămâne fără suport şi, pe cale de consecință, existența lui Dumnezeu devine un non-sens. Desigur, ca şi în alte situații de acest gen, frumusețea (soluția problemei, n.n.) este cea din ochiul şi mintea privitorului!

Bibliografie
Dalea, I. G. (2014) – Documente constitutive ale Francmasoneriei, Ed. Arcana, Timişoara
Dumitriu, A., (1974) – Philosophia mirabilis, Ed. Enciclopedică română, Buc.
Laszlo, E. (2008) – Ştiința şi câmpul akashic, Ed. Pro Editură şi Tipografie, Buc. pp. 134-156
Livio, M. (2017) – Este Dumnezeu matematician?, Ed. Humanitas, Buc.
Livio, M. (2012) – Secțiunea de aur, Ed. Humanitas, Buc.
Mallinger, J. (2009) – Pitagora şi Misteriile Antichității, Ed. Herald, Buc.
Platon (1983) – Opere VII, Ed. Ştiințifică şi enciclopedică, Buc.
Ghyka, M. C. (1998) – Filosofia şi mistica numărului, Ed. Univers enciclopedic, Buc.
Ghyka, M. C. (1981) – Estetica şi teoria artei, Ed. Ştiințifică şi enciclopedică, Buc.
Mackey. G. A. (2017) – Istoria Francmasoneriei, Ed. Herald, Buc.
Vibert, L. (2014) – Masoneria înainte de apariția Marilor Loji, Ed. Nemira, Buc.

Leave a reply

© 2020 Tribuna
design: mvg